System Dynamics

560.657

Homework 4

Problem 1 : SI Model

Recall the epidemic model we discussed in class in which S, I, and R represent populations which are susceptible, infectious, and recovered.

The differential equations of the “flows” are:

Where β  = ci , the contact rate [1/time] and the infectivity [dimensionless] respectively. And given that

The equation reduces to (first-order system):

a)  Identify the loops involved in the system and draw them.

b)  Draw a causal loop diagram of the system

c)   Model the system above and provide a table with the variable values and units.

d)  Plot S and I vs time; and time

Problem 2: SIR Model

In the SI model, eventually the whole population is infected. The SIR model relaxes that assumptions accounting for the recovered population.

We now have a second-order system (i.e. two coupled differential equations). The first equation is identical to Eq. (1.) while the second is:

Where Y  = 1/d  , with units of [1/time], and d the inverse of the average duration time of the infection.

a)  Draw the causal loop diagram of the system

b)  Model the system above and provide a table with the variable values and units.

c)   Draw and explain the scope of action (qualitatively and quantitatively) of each loop (use your imagination!).

d)  Include a screenshot of the Vensim S&F diagram.

e)   Plot S and I vs time; and time

Problem 3: SIRS model

This is the most difficult of the three exercises.

1.   Using the SIR model develop in the previous exercise, create a model in which the Recovered individuals loose gradually their immunity (e.g. seasonal influenza , i.e. R individuals return to the S population. Hint: you need to define a new parameter to  account for the persons per day that loose immunity.

2.   Produce plots: (1) S, I, R vs time, (2) S vs I, and (3) R vs I.

3.   Write the equations that you chose for new components of the model.